MATLAB 微分

MATLAB提供了diff用于计算符号导数的命令。以最简单的形式，将要区分的函数作为参数传递给diff命令。

例如，让我们计算函数的导数f(t)= 3t ² + 2t ^-2

示例

创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-

syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)

编译并执行上述代码后，将产生以下结果-

ans =
6*t - 4/t^3

以下是上述计算的Octave等效-

pkg load symbolic
symbols

t = sym("t");
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
differentiate(f,t)

Octave执行代码并返回以下结果-

ans =
   -(4.0)*t^(-3.0)+(6.0)*t

鉴别基本规则的验证

让我们简要说明各种方程或用于微分的规则，并验证这些规则。为此，我们将为一阶导数写f'(x)，为二阶导数写f“(x)。

以下是区分规则-

规则1

对于任何函数f和g以及任何实数a和b是该函数的导数-

h(x) = af(x) + bg(x) 关于x由-

h'(x) = af'(x) + bg'(x)

规则2

sum和subtraction规则指出，如果 f 和 g 是两个函数，f’和 g’分别是它们的导数，那么,

（f + g)' = f' + g'

(f - g)' = f' - g'

规则3

product规则指出，如果f和g是两个函数，则f'和g'分别是它们的导数，则，

(f.g)' = f'.g + g'.f

规则4

quotient规则指出，如果f和g是两个函数，则f'和g'分别是它们的导数，则，

(f/g)' = (f'.g - g'.f)/g²

规则5

polynomial或基本的功率规则指定，如果，那么y = f(x) = xⁿf' = n. x^(n-1)

该规则的直接结果是，任何常数的导数为零，即，如果y = k，任何常数，则

f' = 0

规则6

chain规则指出，相对于x，函数的函数的导数为：h(x) = f(g(x))

h'(x)= f'(g(x)).g'(x)

实例

创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-

syms x
syms t

f = (x + 2)*(x^2 + 3)
der1 = diff(f)

f = (t^2 + 3)*(sqrt(t) + t^3)
der2 = diff(f)

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 = diff(f)

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 = diff(f)

f = (x^2 + 1)^17
der5 = diff(f)

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6)
der6 = diff(f)

运行文件时，MATLAB显示以下结果-

f =
   (x^2 + 3)*(x + 2)
 
   der1 =
   2*x*(x + 2) + x^2 + 3
  
f =
   (t^(1/2) + t^3)*(t^2 + 3)
 
   der2 =
   (t^2 + 3)*(3*t^2 + 1/(2*t^(1/2))) + 2*t*(t^(1/2) + t^3)
  
f =
   (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
  
der3 =
   (2*x - 2)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) - (- 9*x^2 + 10*x)*(x^2 - 2*x + 1)
 
f =
   (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
  
der4 =
   (4*x + 3)/(x^3 + 1) - (3*x^2*(2*x^2 + 3*x))/(x^3 + 1)^2
  
f =
   (x^2 + 1)^17
  
der5 =
   34*x*(x^2 + 1)^16
  
f =
   1/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^6
  
der6 =
   -(6*(3*t^2 + 6*t + 5))/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^7

以下是上述计算的Octave等效-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
t = sym("t");

f = (x + 2)*(x^2 + 3) 
der1 = differentiate(f,x) 

f = (t^2 + 3)*(t^(1/2) + t^3) 
der2 = differentiate(f,t) 

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) 
der3 = differentiate(f,x) 

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1) 
der4 = differentiate(f,x) 

f = (x^2 + 1)^17 
der5 = differentiate(f,x) 

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6) 
der6 = differentiate(f,t)

Octave执行代码并返回以下结果-

f =

(2.0+x)*(3.0+x^(2.0))
der1 =

3.0+x^(2.0)+(2.0)*(2.0+x)*x
f =

(t^(3.0)+sqrt(t))*(3.0+t^(2.0))
der2 =

(2.0)*(t^(3.0)+sqrt(t))*t+((3.0)*t^(2.0)+(0.5)*t^(-0.5))*(3.0+t^(2.0))
f =

(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))
der3 =

(-2.0+(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))+((9.0)*x^(2.0)-(10.0)*x)*(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)
f =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
der4 =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*(3.0+(4.0)*x)-(3.0)*(1.0+x^(3.0))^(-2)*x^(2.0)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
f =

(1.0+x^(2.0))^(17.0)
der5 =

(34.0)*(1.0+x^(2.0))^(16.0)*x
f =

(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-6.0)
der6 =

-(6.0)*(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-7.0)*(5.0+(3.0)*t^(2.0)+(6.0)*t)

指数，对数和三角函数的导数

下表提供了常用的指数，对数和三角函数的导数-

创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-

syms x
y = exp(x)
diff(y)

y = x^9
diff(y)

y = sin(x)
diff(y)

y = tan(x)
diff(y)

y = cos(x)
diff(y)

y = log(x)
diff(y)

y = log10(x)
diff(y)

y = sin(x)^2
diff(y)

y = cos(3*x^2 + 2*x + 1)
diff(y)

y = exp(x)/sin(x)
diff(y)

运行文件时，MATLAB显示以下结果-

y =
   exp(x)
   ans =
   exp(x)

y =
   x^9
   ans =
   9*x^8
  
y =
   sin(x)
   ans =
   cos(x)
  
y =
   tan(x)
   ans =
   tan(x)^2 + 1
 
y =
   cos(x)
   ans =
   -sin(x)
  
y =
   log(x)
   ans =
   1/x
  
y =
   log(x)/log(10)
   ans =
   1/(x*log(10))
 
y =
   sin(x)^2
   ans =
   2*cos(x)*sin(x)
 
y =
   cos(3*x^2 + 2*x + 1)
   ans =
   -sin(3*x^2 + 2*x + 1)*(6*x + 2)
  
y =
   exp(x)/sin(x)
   ans =
   exp(x)/sin(x) - (exp(x)*cos(x))/sin(x)^2

以下是上述计算的Octave等效-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = Exp(x)
differentiate(y,x)

y = x^9
differentiate(y,x)

y = Sin(x)
differentiate(y,x)

y = Tan(x)
differentiate(y,x)

y = Cos(x)
differentiate(y,x)

y = Log(x)
differentiate(y,x)

% symbolic包不支持此功能
%y = Log10(x)
%differentiate(y,x)

y = Sin(x)^2
differentiate(y,x)

y = Cos(3*x^2 + 2*x + 1)
differentiate(y,x)

y = Exp(x)/Sin(x)
differentiate(y,x)

Octave执行代码并返回以下结果-

y =

exp(x)
ans =

exp(x)
y =

x^(9.0)
ans =

(9.0)*x^(8.0)
y =

sin(x)
ans =

cos(x)
y =

tan(x)
ans =

1+tan(x)^2
y =

cos(x)
ans =

-sin(x)
y =

log(x)
ans =

x^(-1)
y =

sin(x)^(2.0)
ans =

(2.0)*sin(x)*cos(x)
y =

cos(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
ans =

-(2.0+(6.0)*x)*sin(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
y =

sin(x)^(-1)*exp(x)
ans =

sin(x)^(-1)*exp(x)-sin(x)^(-2)*cos(x)*exp(x)

计算高阶导数

为了计算函数f的高阶导数，我们使用语法diff(f,n)。

让我们计算函数y = f(x)= x的二阶导数.e ^-3x

f = x*exp(-3*x);
diff(f, 2)

MATLAB执行代码并返回以下结果-

ans =
9*x*exp(-3*x) - 6*exp(-3*x)

以下是上述计算的Octave等效-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x*Exp(-3*x);
differentiate(f, x, 2)

Octave执行代码并返回以下结果-

ans =

(9.0)*exp(-(3.0)*x)*x-(6.0)*exp(-(3.0)*x)

实例

在这个实例中，让我们解决一个问题。给定一个功能。我们将不得不找出方程是否成立。y = f(x) = 3 sin(x) + 7 cos(5x)f" + f = -5cos(2x)

创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-

syms x
y = 3*sin(x)+7*cos(5*x);  % defining the function
lhs = diff(y,2)+y;        %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*cos(2*x);        %rhs of the equation
if(isequal(lhs,rhs))
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

运行文件时，它显示以下结果-

No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-168*cos(5*x)

以下是上述计算的Octave等效-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 3*Sin(x)+7*Cos(5*x);           %定义函数
lhs = differentiate(y, x, 2) + y;  %计算方程 lhs
rhs = -5*Cos(2*x);                 %方程式 rhs

if(lhs == rhs)
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

Octave执行代码并返回以下结果-

No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-(168.0)*cos((5.0)*x)

求曲线的最大值和最小值

如果要搜索图形的局部最大值和最小值，则基本上是在函数图上特定位置或符号变量值的特定范围内寻找最高点或最低点。

对于函数y = f(x)，图上具有零斜率的点称为stationary points（驻点/临界点）。换句话说，固定点是f'(x)= 0。

为了找到我们求微分的函数的平稳点，我们需要将导数设置为零并求解方程。

实例

让我们找到函数的固定点f(x)= 2x ³ + 3x ² − 12x + 17

采取以下步骤-

首先让我们进入函数并绘制它的图形。

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   %定义函数
ezplot(y)

MATLAB执行代码并返回以下图表-

这是上述示例的Octave等效代码-

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y)
print -deps graph.eps

我们的目的是在图上找到一些局部极大值和极小值，所以让我们找到图上区间[-2，2]的局部极大值和极小值。

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % defining the function
ezplot(y, [-2, 2])

MATLAB执行代码并返回以下图表-

这是上述示例的Octave等效代码-

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y, [-2, 2])
print -deps graph.eps

接下来，让我们计算导数。

g = diff(y)

MATLAB执行代码并返回以下结果-

g =
   6*x^2 + 6*x - 12

这是上述计算的倍频程-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

Octave执行代码并返回以下结果-

g =
   -12.0+(6.0)*x+(6.0)*x^(2.0)

让我们求解导数函数g，得到它变为零的值。

s = solve(g)

MATLAB执行代码并返回以下结果-

s =
   1
   -2

以下是上述计算的Octave等效-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)
roots([6, 6, -12])

Octave执行代码并返回以下结果-

g =

-12.0+(6.0)*x^(2.0)+(6.0)*x
ans =

  -2
   1

这与我们的图表是一致的，所以让我们在临界点 x = 1,-2来计算函数 f。

subs(y, 1), subs(y, -2)

MATLAB执行代码并返回以下结果-

ans =
   10
ans =
   37

以下是上述计算的Octave等效-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

roots([6, 6, -12])
subs(y, x, 1), subs(y, x, -2)

ans =
   10.0
ans =
   37.0-4.6734207789940138748E-18*I

因此，函数的最小值和最大值f(x)= 2x ³ + 3x ² − 12x + 17，在[-2,2]区间中为10和37。

解微分方程

MATLAB提供了dsolve用于符号求解微分方程的命令。

dsolve查找单个方程式解的命令的最基本形式是

dsolve('eqn')

其中eqn是用于输入方程式的文本字符串。

它返回带有一组任意常量的符号解，MATLAB将其标记为C1，C2等。

您还可以指定问题的初始条件和边界条件，作为等式后的逗号分隔列表-

dsolve('eqn','cond1', 'cond2',…)

出于使用dsolve命令的目的，导数用D表示。例如，像f'(t)= -2 * f +这样的方程式cost(t)输入为-

'Df = -2*f + cos(t)'

高阶导数由D后面的导数顺序表示。

例如，方程f“(x)+ 2f'(x)= 5sin3x应该输入为-

'D2y + 2Dy = 5*sin(3*x)'

让我们举一个简单的一阶微分方程的实例：y'= 5y。

s = dsolve('Dy = 5*y')

MATLAB执行代码并返回以下结果-

s =
   C2*exp(5*t)

让我们拿一个二阶微分方程的另一个实例为：y“-y = 0，y= -1，y'= 2。

dsolve('D2y - y = 0','y(0) = -1','Dy(0) = 2')

MATLAB执行代码并返回以下结果-

ans =
   exp(t)/2 - (3*exp(-t))/2

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