经典背包系列问题
问题一
在 n 个物品中挑选若干物品装入背包，最多能装多满？假设背包的大小为m，每个物品的大小为Ai (每个物品只能选择一次且物品大小均为正整数
LintCode 92 · Backpack
暴力递归方法思路
int p(int rest, int i, int[] arr递归含义表示：从 i 开始到最后，还剩下 rest 容量的情况下，得到的最大值是多少。
int p1 = p(rest, i+1, arr;第二个决策，要当前物品，这个决策下，有一个限制条件，即当前物品大小不超过 rest，
arr[i] + p(rest - arr[i], i + 1, arr暴力解法的完整代码如下
public class Solution {
public static int backPack(int m, int[] arr {
if (arr == null || arr.length < 1 {
return 0;
}
return p(m, 0, arr;
}
public static int p(int i, int j, int[] arr {
if (j == arr.length {
return 0;
}
int p1 = p(i, j + 1, arr;
return i >= arr[j] ? Math.max(arr[j] + p(i - arr[j], j + 1, arr, p1 : p1;
}
}超时
缓存法来对上述递归过程进行优化，由于递归函数只有两个可变参数，所以可以定义一个二维数组 dp，二维数组的元素全部初始化为 -1，表示未计算过，用这个二维数组就可以存下所有的递归过程中间值，在递归函数中，如果 dp 的值已经计算过，直接返回即可。在每次递归结果返回之前，要先把结果存入 dp 对应的位置，缓存法的完整代码和注释说明如下：
public class Solution {
public static int backPack(int m, int[] arr {
if (arr == null || arr.length < 1 {
return 0;
}
int[][] dp = new int[arr.length + 1][m + 1];
for (int i = 0; i < dp.length; i++ {
for (int j = 0; j < dp[0].length; j++ {
dp[i][j] = -1;
}
}
return p2(m, 0, arr, dp;
}
public static int p2(int rest, int i, int[] arr, int[][] dp {
// 计算过，直接返回即可
if (dp[i][rest] != -1 {
return dp[i][rest];
}
int ans = 0;
if (i == arr.length {
// 每次计算的结果在返回之前，先更新 dp 值
dp[i][rest] = ans;
return ans;
}
int p1 = p2(rest, i + 1, arr, dp;
ans = rest >= arr[i] ? Math.max(arr[i] + p2(rest - arr[i], i + 1, arr, dp, p1 : p1;
// 每次计算的结果在返回之前，先更新 dp 值
dp[i][rest] = ans;
return ans;
}
}可 AC。
int[][] dp = new int[arr.length + 1][m + 1]其中 dp[i][j] 就表示递归函数 p(i,j,arr 的值，根据暴力递归方法可知
dp[i][j] 依赖的位置是 dp[i][j+1] 以及 dp[i - arr[j]][j + 1] 两个位置的值，完整代码如下
public class Solution {
public static int backPack(int m, int[] arr {
if (arr == null || arr.length < 1 {
return 0;
}
int[][] dp = new int[arr.length + 1][m + 1];
for (int i = arr.length - 1; i >= 0; i-- {
for (int j = 0; j < m + 1; j++ {
int p1 = dp[i + 1][j];
dp[i][j] = j >= arr[i] ? Math.max(arr[i] + dp[i + 1][j - arr[i]], p1 : p1;
}
}
return dp[0][m];
}
}可 AC。
dp[i][j] 依赖的位置是 dp[i][j+1] 以及 dp[i - arr[j]][j + 1] 两个位置，根据这个依赖关系，可以将二维数组简化成一维数组，
int[] dp = new int[m + 1];先求最后一列的值，然后复用这个数组推出倒数第二列的值。最后推到第一列的值，完整代码
public class Solution {
public static int backPack(int m, int[] arr {
if (arr == null || arr.length < 1 {
return 0;
}
int[] dp = new int[m + 1];
for (int i = arr.length - 1; i >= 0; i-- {
for (int j = m; j >= 0; j-- {
if (j >= arr[i] {
dp[j] = Math.max(dp[j - arr[i]] + arr[i], dp[j];
}
}
}
return dp[m];
}
}问题二
定义递归函数
int process(int i, int m, int[] w, int[] v递归含义表示：i 号及其往后所有的物品在重量允许范围内的最大价值是多少。
if (i == w.length {
return 0;
}表示无物品可选，返回 0 的价值。
决策一：选择 i 位置的物品，则
int p1 = process(i + 1, m, w, v;决策二，不选择 i 位置的物品，此时有条件，即物品重量不能超过当前书包的剩余容量，即
v[i] + process(i + 1, m - w[i], w, v完整代码如下
public class Solution {
public static int backPackII(int m, int[] w, int[] v {
if (m <= 0 || w == null || w.length < 1 || v == null || v.length < 1 {
return 0;
}
return process(0, m, w, v;
}
// i号及其往后所有的物品在重量允许范围内的最大价值是多少
public static int process(int i, int m, int[] w, int[] v {
if (i == w.length {
return 0;
}
// 不选i号商品
int p1 = process(i + 1, m, w, v;
if (m >= w[i] {
// 这种情况下，才有资格选i号商品
return Math.max(p1, v[i] + process(i + 1, m - w[i], w, v;
}
return p1;
}
}超时
int[][] dp = new int[w.length + 1][m + 1];dp 的初始值全为 -1，同时，将每次递归结果都存入 dp 中，如果某个递归算过了，则直接返回即可，完整代码如下
public class Solution {
public static int backPackII(int m, int[] w, int[] v {
if (m <= 0 || w == null || w.length < 1 || v == null || v.length < 1 {
return 0;
}
int[][] dp = new int[w.length + 1][m + 1];
for (int i = 0; i < dp.length; i++ {
for (int j = 0; j < dp[0].length; j++ {
dp[i][j] = -1;
}
}
return process2(0, m, w, v, dp;
}
public static int process2(int i, int m, int[] w, int[] v, int[][] dp {
if (dp[i][m] != -1 {
return dp[i][m];
}
if (i == w.length {
dp[i][m] = 0;
return 0;
}
// 最后一行都是0
// 从最后一行开始
int ans = process2(i + 1, m, w, v, dp;
if (i < w.length && m >= w[i] {
// 这种情况下，才有资格选i号商品
ans = Math.max(ans, v[i] + process2(i + 1, m - w[i], w, v, dp;
}
dp[i][m] = ans;
return ans;
}
}可 AC
int[][] dp = new int[w.length + 1][m + 1];通过观察暴力递归过程可知，dp[i][j] 依赖 dp[i+1][j] 和 dp[i+1][j-w[i]] 两个位置的值，完整代码如下
public class Solution {
public static int backPackII(int m, int[] w, int[] v {
if (m <= 0 || w == null || w.length < 1 || v == null || v.length < 1 {
return 0;
}
int[][] dp = new int[w.length + 1][m + 1];
// 倒数第一行都是0
// 从倒数第二行开始填
for (int i = w.length - 1; i >= 0; i-- {
for (int j = m; j >= 0; j-- {
dp[i][j] = dp[i + 1][j];
if (j >= w[i] {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], v[i] + dp[i + 1][j - w[i]];
}
if (j == m && i == 0 {
break;
}
}
}
return dp[0][m];
}
}优化四，参考问题1，上述动态规划也可以做进一步的空间压缩，使用一个一维数组来滚动更新，不赘述，完整代码如下
public class Solution {
public static int backPackII(int m, int[] w, int[] v {
if (m <= 0 || w == null || w.length < 1 || v == null || v.length < 1 {
return 0;
}
int[] dp = new int[m + 1];
for (int i = w.length - 1; i >= 0; i-- {
for (int j = m; j >= 0; j-- {
if (j >= w[i] {
dp[j] = Math.max(dp[j], v[i] + dp[j - w[i]];
}
if (i == 0 {
break;
}
}
}
return dp[m];
}
}