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无尽沙砾大佬的视频：3-6-多项式环-4_哔哩哔哩_bilibili ~
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背景
\(\mathbb{P}\ 是 一个数域，那么 \(\mathbb{P}\ 上的一元多项式环 \(\mathbb{P}[x]\ 是由形如
\[a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0, \quad n \geqslant 0, \quad a_i \in \mathbb{P}, \quad i=0,1, \ldots, n \]
\(\mathbb{P}[x]\ 上两个元素 \(a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0, b_m x^m+b_{m-1} x^{m-1}+\cdots+b_1 x+b_0\（不妨设 \(m \geqslant n\）相等当且仅当对任何 \(0 \leqslant i \leqslant m, a_i=b_i\（这里规定，如果 \(k>n\，则 \(a_k=0\）。而环 \(\mathbb{P}[x]\ 的加法就是合并同类项，乘法是展开相乘再合并同类项。
\(x\ 究竟是什么东西，取值是什么，它可能都不需要取自数域 \(\mathbb{P}\。所以必须更严格的给出 \(x\ 的定义，其实就是后面所谓的超越元（不定元）。
\(R\ 上添加 \(u\ 形成的环 \(R[u]\
\(u\ 来表示之前认知中的 \(x\，也就是自变量。
\(R\ 上的，若 \(R\ 和 \(u\ 要组成多项式运算，则要求他们的运算结果在一个更大的环 \(R[u]\ 上，且要求这是包含 \(R\cup \{u\}\ 最小的环。
\(\widetilde R\，它包含了 \(R,u,R[u]\，至于为什么有这个环笔者也不太清楚 🥲
\(R[u]\，考虑它里面的每个元素 \(x\，都是由以下几种形式构成：
\(u\ 的自乘，即存在某个正整数 \(n\ 使得 \(x=u^n\
\(u\ 的自加，即存在某个整数 \(m\ 使得 \(x=m u\
\(u\ 的自乘和 \(R\ 中元素的互乘，即存在 \(a, b \in R\ 和正整数 \(n\ 使得 \(x=a u^n\ 或 \(x=u^n a\ 或 \(x=a u^n b\
\(x=r+\sum_n m_n u^n+\sum_n a_n u^n+\sum_n u^n b_n+\sum_n c_n u^n d_n\，\(r \in R, a_n, b_n, c_n, d_n\ 是 \(R\ 当中的元素序列
\(R\ 中的元素，即 \(x \in R\，且它们之间的乘法加法都是封闭的，都在 \(R\ 中
\(R[u]\ 的元素形式比较复杂，通常我们要求 \(R\ 和 \(\widetilde{R}\ 都是可换幺环，并且它们的幺元相同，来简化元素形式，同时更贴近多项式的形式。
\(u^n\ 的自加 \(m u^n\ 可以表述为
\[\sum_{i=1}^m u^n=\sum_{i=1}^m\left(1 u^n\right=\left(\sum_{i=1}^m 1\right u^n \]
\(1 \in R\ 而 \(R\ 是环，因此 1 的自加也在 \(R\ 当中，即存在 \(a \in R\ 使得 \(\begin{aligned}a=\sum_{i=1}^m 1\end{aligned}\，进而自加 \(m u^n\ 可以表示为 \(a u^n, a \in R\ 的形式，同理自乘也可以化成 \(a u^n, a \in R\ 的形式。其余可以通过交换性获得相同的形式。最后 \(R[u]\ 中元素的形式简化为：
\[x=a_0+\sum_n a_n u^n, a_0, a_n \in R \]
\(u^0=1\，最后将其写成 \(x=\sum_n a_n u^n，n\ 取值从0开始，到某个正整数。
交换幺环上添加元素得到的环」的定义：
\(R\ 是交换环，\(\widetilde R\ 是它的扩环，\(u \in \widetilde R \backslash R\，则称
\[R[u]:=\left\{\sum_{i=0}^n a_i u^i \mid n \in \mathbb{N}, a_i \in R\right\} \]
\(R\ 中添加元素 \(u\ 所得到的环，称 \(a_i u^i\ 为 \(R[u]\ 中某个元素的项，\(a_i\ 为这一项的系数 coefficient。
\(u \in \widetilde{R} \backslash R\，不过这种情况下和 \(R[u]=R\，同时 \(u\ 不是超越元，我们这里的定义希望排除这种情况。
\(R[u]\ 就是包含 \(R\cup \{u\}\ 最小的环。
代数元 Algebraic Element 和超越元 Transcendental Element
\(R[u]\ 当中的 \(u^0(=1, u, u^2, \ldots, u^n, \ldots\ 视作是一些向量，那么 \(R[u]\ 当中的元素 \(\begin{aligned}\sum_{i=0}^n a_i u^i\end{aligned}\ 就可以视作是这些向量的「线性组合」。仿照线性代数当中的说法，我们可以引入代数元和超越元的定义：
\(R\ 是可换幺环 \(\widetilde{R}\ 的子环，且它们拥有相同的么元，\(u \in \widetilde{R}\ 若存在 \(R\ 中的元素 \(\left\{a_i\right\}_{i=0}^n\（其中至少某个 \(a_i \neq 0\）使得 \(\begin{aligned}\sum_{i=0}^n a_i u^i=0\end{aligned}\，则称 \(u\ 是 \(R\ 上的代数元，否则称其为 \(R\ 上的超越元。
\(u \in R\ 必然是代数元，因为我们总是可以取 \(a_0=-u, a_1=1\ 使得 \(a_0+a_1 u=0\。
\(\widetilde{R} \backslash R\ 当中考虑。
\(R\ 上可以通过添加代数元或超越元可以生成环 \(R[u]\。
\(u\ 是代数元：对某个 \(n\，\(u^0, u, \ldots, u^n\ 是「线性相关」的
\(u\ 是超越元：对于任意的 \(n\，\(u^0, \ldots, u^n\ 都是「线性无关」的
\(u\，可以额外引入其次数 Degree 的概念，符号为 \(\operatorname{deg}(u, R\，定义如下:
\[\begin{gathered} \operatorname{deg}(u, R:=\min \left\{n \in \mathbb{N}\mid \exists\{a_i\}_{i=0}^n \subseteq R \text { s.t. } \sum_{i=0}^n a_i u^i=0 \wedge \exists m\in \mathbb{N}(0 \leq m \leq n, a_m \neq 0\right\} \end{gathered} \]
\(n\，使得一个系数不全为 0 的多项式 \(\begin{aligned}\sum_{i=0}^n a_i u^i=0\end{aligned}\。
\[\begin{gathered} \operatorname{deg}(u, R:=\min \left\{n \in \mathbb{N}\mid \exists\{a_i\}_{i=0}^n \subseteq R \text { s.t. } \sum_{i=0}^n a_i u^i=0 \wedge a^n\not=0\right\} \end{gathered} \]
其实只要要求最后一个 \(a^n\not=0\ 即可，因为如果 \(a^n=0\wedge\exists i\in[0,n-1],a^i\not=0\ 使得 \(\begin{aligned}\sum_{i=0}^n a_i u^i=0\end{aligned}\，那么系数应该至多为 \(i\ 才对，而不是 \(n\。
\(\operatorname{deg}(\sqrt{-1}, \mathbb Z=\operatorname{deg}(\sqrt{-1}, \mathbb Q=2\，因为没有实数 \(a_0,a_1\ 可以使得 \(a_0+a_1\times\sqrt{-1}=0\，而 \(1+0\times\sqrt{-1}+1\times(\sqrt{-1}^2=0\
\(\operatorname{deg}(\sqrt{-1}, \mathbb C=1\，在复数域上可以取 \(1,\sqrt{-1}\，使得 \(1+(\sqrt{-1}\times(\sqrt{-1}=0\
一元多项式环和一元多项式
设 \(u\ 是可换幺环 \(R\ 上的超越元（不定元），则称 \(R[u]\ 为 \(R\ 上的一元多项式环，它里面的元素被叫做一元多项式，记为 \(f(u=\begin{aligned}\sum_{i=0}^n a_i u^i=0\end{aligned}\。
我们之所以要求 \(u\ 是不定元, 主要是因为我们希望得到下面的一个结论:
\(R[u]\ 是交换么环 \(R\ 上的一元多项式环，\(\begin{aligned}f_1(u=\sum_{i=0}^n a_i u^i\end{aligned}\ 和 \(\begin{aligned}f_2(u=\sum_{i=0}^m b_i u^i\end{aligned}\，则 \(f_1(u=f_2(u\ 当且仅当：
\(i>\min (m, n\ 之后必须恒有 \(a_i=0\（如果 \(n>m\）或 \(b_i=0\（如果 \(m>n\）
\(a_i=b_i\ 对任意 \(i, 0 \leq i \leq \min (m, n\ 成立
不妨设 \(m \leq n\, 则 \(f_1(u=f_2(u\iff f_1(u-f_2(u=0\，这就等价于
\[\sum_{i=0}^m\left(a_i-b_i\right u^i+\sum_{j=m+1}^n a_i u^j=0 \]
\[\begin{aligned} a_i-b_i &=0,0 \leq i \leq m \\ a_i &=0, m+1 \leq i \leq n \end{aligned} \]
这就表明 \(p_1(u\ 自 \(a_{m+1}\ 开始（包括它自身）后续的 \(a_i\ 都是零，且前面的 \(m+1\ 项恒有 \(a_i=b_i\。
\(u\ 做要求，就会使得多项式环中元素的多项式表示不唯一，两个多项式的相等关系就很难建立起来，给研究带来困难。
在定义中，每个多项式都可以写成 \(\begin{aligned}\sum_{i=0}^n a_i u^i\end{aligned}\ 的样子，这里的 \(n\ 是不固定的，所以上述定理中两个相等的多项式可以相差任意个零系数因子 \(0 u^n\，为了排除这种情况，对 \(R[u]\ 中多项式元素的表示进行处理：
\(a_i\ 不为 0，因为 \(R[u]\ 中元素必为代数元，所以有确定的次数 \(n=\operatorname{deg}(f(u,R\，所以当 \(i>n\ 时恒有 \(a_i=0\
\((a_0,a_1,\ldots,a_n,0,0,\ldots\
\(0=0+0u+\cdots+0u^n\in R[u]\，其称为零多项式，一般可以认为 \(\operatorname{deg}(0,R=-\infty\或者零多项式没有次数
\(R[u]\ 中元素写成
\[ f(u=\sum_{i=0}^{+\infty} a_i u^i \]
一元多项式环的存在性
可换幺环上的一元多项式环一定存在，即任意可环幺环上都可以定义一元多项式环
\(R\：
\(\widetilde R\ 中找到一个子环 \(R_0\，使得 \(R_0\cong R\，即两个环同构
\(\widetilde R\backslash R_0\ 找到一个元素 \(u\，证明其为 \(R_0\ 上的不定元
\(R_0\ 添加上 \(u\ 形成一元多项式环 \(R_0[u]\，实际上可以证明 \(R_0[u]=\widetilde R\
\(R[u]\cong R_0[u]\，即 \(R_0[u]\ 就是 \(R\ 上的一元多项式环
\(\widetilde R=\{(a_0,a_1,\ldots,0,0,\ldots\mid a_i\in R\}\，其中的非零元有限
-
大环上的乘法：
假设乘积结果的元素为 \(c_k\，即 \((a_0,a_1,\ldots\times(b_0,b_1,\ldots=(c_0,c_1,\ldots\，则 \(\begin{aligned}c_k=\sum_{i+j=k}a_ib_j\end{aligned}\
大环上的加法：
\[(a_0,a_1,\ldots+(b_0,b_1,\ldots=(a_0+b_0,a_1+b_1,\ldots \]
封闭性只用证明结果的非零元有限，即次数有限即可。
\(-(a_0,a_1,\ldots=(-a_0,-a_1,\ldots\
\(\mathbf{1}=(1,0,\ldots\
\(\mathbf{0}=(0,0,\ldots\
对于任意的 \(\boldsymbol{a}=\left(a_0, \ldots, a_n, 0,0, \ldots\right\，设 \(\boldsymbol{1} \boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}\，则
\[b_k=\sum_{i=0}^k 1_i a_{k-i}=1_0 a_k+1_1 a_{k-1}+\cdots+1_k a_0=a_k, k\in\{0,1,\ldots,n\} \]
\(1_0=1\，而 \(1_{i \geq 1}=0\。这就意味着 \(1 \boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}\ 恒成立，因此这里定义的 \(\bf 1\ 就是 \(V\ 的幺元
\(\varphi: R\to R_0, \forall a\in R,\varphi(a=(a,0,\ldots\in R_0\，可证为环同构映射
\(u=(0,1,0,\ldots\
\(R_0\ 的形式为 \(R_0=\{(a,0,0,\ldots\mid a\in R\}\，可以证明其为 \(\widetilde R\ 的子环
\(u^2=(0,0,1,0,\ldots\，类似 \(u^k=(\overbrace{0,0,\ldots,0}^{k个0},1,0,\ldots\
\(u\ 是 \(R_0\ 上的不定元，需要证明 \(\forall a_0,a_1,\cdots,a_n\in R\，对应 \(R_0\ 中的元素 \((a_0,0,0,\ldots,(a_1,0,0,\ldots,\ldots,(a_n,0,0,\ldots\，则
\[\begin{aligned} &(a,0,0,\ldots\mathbf{1}+(a,0,0,\ldotsu+\cdots+(a,0,0,\ldotsu^n\\ &=(a,0,0,\ldots(1,0,0,\ldots+(a,0,0,\ldots(0,1,0,\ldots+\cdots+\\ &\quad~(a,0,0,\ldots(\overbrace{0,0,\ldots,0}^{n个0},1,0,\ldots\\ &=(a_0,a_1,\ldots,a_n \end{aligned} \]
\((a_0,a_1,\ldots,a_n=\bf 0\，说明 \(a_0=a_1=\cdots=a_n=0\，即 \(u\ 确实为 \(R_0\ 上的不定元。
极小多项式 Minimal Polynomial
Minimal polynomial (field theory - Wikipedia
\(f\ 是该域上次数最小的首一多项式，使得 $ u
$ 为 \(f\ 的根\(u\ 的极小多项式存在，则是唯一的
\(u\，它的极小多项式（最小多项式）为满足 \(f(u=0\ 的 最低次 首一多项式 \(f\