线性基求交：设 \(A,B\ 为两个线性基，\(V_A,V_B\ 分别为其生成空间，则 \(V_C=V_A\cap V_B\ 是一个线性空间，称 \(A\ 与 \(B\ 两个线性基的交为 \(C\。
\(V_C\ 是一个线性空间。其实很显然，对于任意 \(x,y\in V_C=V_A\cap V_B\，\(x,y\in V_A\implies x\oplus y\in V_A\，同理 \(x\oplus y\in V_B\，从而 \(x\oplus y\in V_A\cap V_B=V_C\。
\(C\ 的算法：
\(B\ 进行一些调整（后面会讲），保持其生成空间 \(V_B\ 不变。
设存在一个线性基 \(W\，满足以下三条性质：
\(W\ 是线性基 \(B\ 中与 \(V_A\ 有交的那部分，\(B\ 中其余部分与 \(A\ 线性无关。
那么可以证明，\(W\ 即为所求的线性基的交 \(C\。
\(V_W=V_A+V_B\：
- 假设存在 \(u\notin V_W\ 且 \(u\in V_A\cap V_B\。
- 假设存在 \(u\in V_W\ 且 \(u\notin V_A\cap V_B\。
组成 \(u\ 的基底既在 \(B\ 中也在 \(V_A\ 中，显然矛盾。
由于 \(u\in V_B\，故此时存在一些 \(\{b_i\}\ 满足 \(b_i\in B,\ \bigoplus b_i=u\。将这些 \(b_i\ 分成两部分，前者 \(\in W\，后者 \(\in B-W\，令前者的异或和为 \(s\，后者为 \(t\，则 \(s\in V_W,t\in V_{B-W}\。
而 \(u\in V_A,s\in V_W\subseteq V_A\，故 \(t=u\oplus s\in V_A\。又 \(t\in V_{B-W}\，由性质 3 得 \(t=0\，从而 \(u=s\in V_W\，矛盾。
\(W\ 了。
\(b_i\ 依次执行以下操作：
- 若 \(b_i\in \mathrm{span}(\{a_1,a_2,\dots,a_n,b_1,b_2,\dots,b_{i-1}\}\，设其表示为 \(b_i=\alpha \oplus \beta\，其中 \(\alpha \in V_A,\beta \in \mathrm{span}\{b_1,\dots,b_{i-1}\}\，令 \(b_i\leftarrow b_i\oplus \beta\，并标记其为 \(1\ 类；
否则，不做任何操作，标记其为 \(2\ 类。
\(\{b_i\}\ 与 \(V_A\ 的交即为满足条件的 \(W\。以下证明其满足 \(V_{B-W}\cap V_A=\{0\}\：
\(1\ 类的 \(b_i\ 都 \(\in V_A\，所有 \(2\ 类的 \(b_i\ 都 \(\notin V_A\。于是 \(1\ 类 \(b_i\ 所组成的集合即为 \(W\，\(2\ 类即为 \(B-W\。
\(u\neq 0\ 满足 \(u\in V_{B-W}\ 且 \(u\in V_A\，则存在若干个 \(2\ 类 \(b_i\ 以及若干个 \(a_i\ 使得 \(\bigoplus b_i=u=\bigoplus a_i\，取出这些 \(b_i\ 中下标最大的那个 \(b_k\，则 \(b_k=b_1\oplus b_2\oplus \dots \oplus b_{k-1} \oplus \bigoplus a_i\，与在位置 \(k\ 时 \(b_k\ 没有标记为 \(1\ 类矛盾！
证毕。