NIM游戏
有一堆大小为 \(n\ 的石子，甲和乙轮流从石堆里面拿石子，不能一次拿掉所有石子，取走最后一个石子的人获胜，甲先开始，谁是必胜的？
有两堆大小为 \(n\ \(m\ 的石子，甲和乙轮流从两个石堆里拿石子，每次从一个石堆里拿石子，不能一次拿掉一堆中所有石子，取走最后一个石子的获胜，甲先开始拿，谁是必胜的？
而如果 \(n != m\，先手就可以制造两堆相等的石子，使得后手必败。
必败态。记为 \(P\。
当两堆不相等时，先手必胜，将这种状态叫做必胜态，记为 \(N\。
由前两种NIM游戏可以知道，如果所有石堆大小都相等，那么先手是不能直接取得胜利的。这种状态称为平衡态。反之，可以进行一次操作就取得胜利的状态就是非平衡态。平衡态也就是必胜态，非平衡态也就是必败态。
考虑将所有石堆的大小异或起来，如果结果为 \(0\，那么这就是一个平衡态。如果结果不为零，那就是非平衡态。
我们每拿一次石子，都可以将异或时某一位上的值由这位上的 \(1\ 的奇偶性决定。因此我们拿石子时可以控制每一位上 \(1\ 的奇偶性，也就因此能控制异或出的总结果了。同样的，对手每操作一次，由于必须拿至少一颗石头，就势必将会影响某一位上 \(1\ 的数量，状态必然会改变。这就意味着我们在操作的时候，可以实现平衡态和非平衡态之间的转化。
如果一开始接手的是一个平衡态，只要对手足够聪明，就可以让我们每次都拿到一个平衡态。这就是必败的。
SG函数
0级必胜点，记作 \(SG(x=0\（\(x\ 描述了当前的状态）。
如果某个状态最少操作一次就能变为0级必胜点，那么这个状态就是1级必胜点，以此类推，有2级，3级……必胜点。而SG函数就是用来描述每个状态到达终末态时所需要的最少的步骤，即描述每个状态是几级必胜点。定义为：
SG定理
-
两个不同级必胜点（SG函数值不同）组合成的的游戏是必胜的，因为先手可以将等级高的必胜点的等级降低到与另一个必胜点相同，这样后手面对的就是由两个同级必胜点构成局面，先手必胜。
SG定理了！
例题：
Fibonacci again and again
板题，主要想说说怎么记忆化搜索求SG函数值。
int sg[MAXN + 5],f[MAXN + 5];//f为菲波那契数列
int getsg(int num{
if(num == 0return sg[num] = 0;
if(sg[num] != -1return sg[num];
bool vis[MAXN + 5];//表示从石子数为num可以转换到哪些状态
for(int i = 1; i <= MAXN: i++{
vis[num - f[i]] = 1;
getsg(num - f[i];
}
for(int i = 0; ; i++{
if(!vis[i]return sg[num] = i;//找mex，求出是几级必胜点
}
return sg[num];
}
求出三个数的SG值后，看 \(SG(n ^ SG(m ^ SG(p\ 是否为 \(0\ 即可得出答案。
A multiplication game
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<map>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 1e5;
int n;
map<int,int> sg,vis;
int getsg(int x{
if(x >= nreturn sg[x] = 0;
if(vis.find(x != vis.end(return sg[x];
vis[x] = 1;
int s[10];//9的十次方已经大于n的最大值了，故sg函数的值最大为9
memset(s,0,sizeof s;
for(int i = 2; i <= 9; i++{
s[getsg(x * i] = 1;
}
for(int i = 0; i < 10; i++{
if(!s[i]return sg[x] = i;
}
return sg[x];
}
signed main({
while(~scanf("%lld",&n{
sg.clear(;
vis.clear(;
getsg(1;
if(sg[1]cout << "Stan wins.\n";
else cout << "Ollie wins.\n";
}
}
Cutting Game
两个人在一张大小为 \(h * w\ 纸上面切，每个人每次可以横着切一刀，也可以竖着切一刀，谁切出了 \(1 * 1\ 大小的纸，谁就获胜，问谁必胜。
注意到状态是二维的，即当前纸的长与宽。注意下SG函数的记录方法。
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 1e3;
int sg[MAXN + 5][MAXN + 6],n,m;
int getsg(int x,int y{
if(x < yswap(x,y;
if(sg[x][y] != -1return sg[x][y];
if(x == 1 && y == 1return sg[x][y] = 1;
bool vis[4001];
memset(vis,0,sizeof vis;
for(int i = 2; i <= x - 2; i++{//横着切
vis[getsg(i,y ^ getsg(x - i,y] = 1;//每切一刀，就将当前纸分成了两张，也就是分成了两个子游戏，因此取异或的值
}
for(int i = 2; i <= y - 2; i++{//竖着切
vis[getsg(x,i ^ getsg(x,y - i] = 1;
}
for(int i = 0; i <= 4000; i++{
if(!vis[i]return sg[x][y] = i;
}
return sg[x][y];
}
int main({
memset(sg,-1,sizeof sg;
for(int i = 2; i <= MAXN; i++{
sg[1][i] = 0;
}
while(~scanf("%d%d",&n,&m{
int ans = getsg(n,m;
if(anscout << "WIN\n";
else cout << "LOSE\n";;
}
}